Notice bibliographique
Résumé
Let ν(Z) be the minimal number of colors enough to color the m-dimensional integer grid Z so that there would be no infinite monochromatic symmetric subsets. Banakh and Protasov [3] compute ν(Z) = m + 1. For the one-dimensional case this just means that one can color positive integers in red, while negative in blue, thereby avoiding an infinite monochromatic symmetric subset by trivial reason. This motivates the question what changes if we allow only colorings unlimited in both directions (in “all” directions for m > 1). In this paper we show that then ν(Z) increases in 1, whereas for higher dimensions the values ν(Z) remain unaffected. Furthermore we examine the density properties of a set A ⊆ Z that ensure the existence of infinite symmetric subsets or arbitrarily large finite symmetric subsets in A. In the case that A is a sequence with small gaps, we prove a multi-dimensional analogue of the Szemeredi theorem, with symmetric subsets in place of arithmetic progressions. A similar two-dimensional statement is known for collinear subsets (Pomerance [10]), whereas for two-dimensional arithmetic progressions even the corresponding version of van der Waerden’s theorem is known to be false. We also observe that A ⊆ N contains arbitrarily large symmetric subsets whenever the series ∑ a∈A 1/a diverges (for arithmetic progressions this is the well-known unproven conjecture of Erdős). A natural two-dimensional analogue of the latter statement is false. We show a counterexample built upon Erdős’s construction of a dense infinite B2-sequence. ∗Department of Mechanics & Mathematics, Lviv University, Universytetska 1, 290602 Lviv, Ukraine. E-mail: tbanakh@franko.lviv.ua. Research supported in part by grant INTAS-96-0753. †Department of Numerical Mathematics & Programming, State University “Lvivska Polytechnika”, Bandera St. 12, 290646 Lviv, Ukraine. Part of this work was done while visiting the Institute of Mathematics, University of Vienna, supported by an OAD grant. ‡Part of this work was done while visiting the Institute of Information Systems, Vienna University of Technology, supported by a Lise Meitner Fellowship of the Austrian Science Foundation (FWF). Current e-mail: oleg@dbai.tuwien.ac.at.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».