An Improved Bound for an Extension of Fine and Wilf’s Theorem and Its Optimality
Notice bibliographique
Résumé
Considering two DNA molecules which are Watson-Crick (WK) complementary to each other “equivalent” with respect to the information they encode enables us to extend the classical notions of repetition, period, and power. WK-complementarity has been modelled mathematically by an antimorphic involution θ, i.e., a function θ such that θ(xy) = θ(y)θ(x) for any x, y ∞ Σ*, and θ 2 is the identity. The WK-complementarity being thus modelled, any word which is a repetition of u and θ(u) such as uu, uθ(u)u, and uθ(u)θ(u)θ(u) can be regarded repetitive in this sense, and hence, called a θ-power of u. Taking the notion of θ-power into account, the Fine and Wilf’s theorem was extended as “given an antimorphic involution θ and words u, v, if a θ-power of u and a θ-power of v have a common prefix of length at least b(|u|, |v|) = 2|u| + |v| – gcd(|u|, |v|), then u and v are θ-powers of a same word.” In this paper, we obtain an improved bound b′(|u|, |v|) = b(|u|, |v|) – [gcd(|u|, |v|)/2]. Then we show all the cases when this bound is optimal by providing all the pairs of words (u, v) such that they are not θ-powers of a same word, but one can construct a θ-power of u and a θ-power of v whose maximal common prefix is of length equal to b′(|u|, |v|) − 1. Furthermore, we characterize such words in terms of Sturmian words.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,009 | 0,045 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,004 | 0,005 |
| Bibliométrie | 0,004 | 0,004 |
| Études des sciences et des technologies | 0,003 | 0,007 |
| Communication savante | 0,005 | 0,018 |
| Science ouverte | 0,007 | 0,008 |
| Intégrité de la recherche | 0,005 | 0,011 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,018 | 0,005 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».