An Improved Bound for an Extension of Fine and Wilf’s Theorem and Its Optimality
Notice bibliographique
Résumé
Considering two DNA molecules which are Watson-Crick (WK) complementary to each other “equivalent” with respect to the information they encode enables us to extend the classical notions of repetition, period, and power. WK-complementarity has been modelled mathematically by an antimorphic involution θ, i.e., a function θ such that θ(xy) = θ(y)θ(x) for any x, y ∞ Σ*, and θ 2 is the identity. The WK-complementarity being thus modelled, any word which is a repetition of u and θ(u) such as uu, uθ(u)u, and uθ(u)θ(u)θ(u) can be regarded repetitive in this sense, and hence, called a θ-power of u. Taking the notion of θ-power into account, the Fine and Wilf’s theorem was extended as “given an antimorphic involution θ and words u, v, if a θ-power of u and a θ-power of v have a common prefix of length at least b(|u|, |v|) = 2|u| + |v| – gcd(|u|, |v|), then u and v are θ-powers of a same word.” In this paper, we obtain an improved bound b′(|u|, |v|) = b(|u|, |v|) – [gcd(|u|, |v|)/2]. Then we show all the cases when this bound is optimal by providing all the pairs of words (u, v) such that they are not θ-powers of a same word, but one can construct a θ-power of u and a θ-power of v whose maximal common prefix is of length equal to b′(|u|, |v|) − 1. Furthermore, we characterize such words in terms of Sturmian words.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».