Random geometric graphs and isometries of normed spaces
Notice bibliographique
Résumé
Given a countable dense subset <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of a finite-dimensional normed space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than p greater-than 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0>p>1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , we form a random graph on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> by joining, independently and with probability <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , each pair of points at distance less than <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1"> <mml:semantics> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We say that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is <italic>Rado</italic> if any two such random graphs are (almost surely) isomorphic. Bonato and Janssen showed that in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script l Subscript normal infinity Superscript d"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\ell _\infty ^d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> almost all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are Rado. Our main aim in this paper is to show that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script l Subscript normal infinity Superscript d"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\ell _\infty ^d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the unique normed space with this property: indeed, in every other space almost all sets <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S"> <mml:semantics> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are non-Rado. We also determine which spaces admit some Rado set: this turns out to be the spaces that have an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script l Subscript normal infinity"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi> ℓ </mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\ell _\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> direct summand. These results answer questions of Bonato and Janssen. A key role is played by the determination of which finite-dimensional normed spaces have the property that every bijective step-isometry (meaning that the integer part of distances is preserved) is in fact an isometry. This result may be of independent interest.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,013 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».