Géodésie, topographie et cartographie

La géodésie s'occupe de la détermination mathématique de la forme de la Terre.Les observations géodésiques conduisent à des données numériques : forme et dimensions de la Terre, coordonnées géographiques des points, altitudes, déviations de la verticale, longueurs d'arcs de méridiens et de parallèles, etc.2 La topographie est la sœur de la géodésie.Elle s'intéresse aux mêmes quantités, mais à une plus petite échelle, et elle rentre dans des détails de plus en plus fins pour établir des cartes à différentes échelles et suivre pas à pas les courbes de niveau.La topométrie constitue la partie mathématique de la topographie. Jalons et mires (Fonds A. Cholesky) La géodésie 6Le problème essentiel de la géodésie consiste à définir par des nombres (angles et distances) les positions relatives des points de repère.Ces points géodésiques sont matérialisés par des mires installées sur les sommets et les clochers, ou par de simples bornes.Du point de vue mathématique, le problème est complètement résolu si l'on dispose de mesures d'angles et de longueurs assez nombreuses pour déterminer les triangles formés par les points et les dièdres qui permettent de fixer les altitudes relatives des différents plans.Mais il est nécessaire de rapporter ces mesures à un système de trois axes.Il faut substituer à la surface physique réelle de la Terre, avec ses montagnes et toutes ses variations de terrain, une surface théorique facile à définir géométriquement au moyen de quelques paramètres et, surtout, facile à déterminer expérimentalement en chaque endroit où l'on en a besoin.Ça ne peut être une sphère puisque la Terre n'en est pas une parfaite.7 C'est là qu'intervient la notion de verticale qui est facile à définir partout grâce à un fil à plomb.Le point où cette verticale rencontre la sphère céleste s'appelle le zénith.Le plan qui lui est perpendiculaire permet de définir l'horizontale et il est donné par la surface d'un liquide au repos.La verticale en un point est la seule donnée géométrique qui soit absolue, c'est-à-dire indépendante des points voisins.La surface terrestre théorique devra donc être perpendiculaire, en tout point, à la verticale.Mais il y a une infinité de telles surfaces de niveau, parallèles entre elles.On choisira celle qui vient se raccorder, le long du littoral, à la surface de la mer.Un nouveau problème se pose alors : le niveau de la mer change et il faut donc déterminer son niveau moyen qui servira de zéro.Cette Géodésie, topographie et cartographie Bulletin de la Sabix, 39 | 2005 8Par conséquent, il faut choisir un point origine, sur la côte ou non, et prendre comme surface de comparaison la surface de niveau définie de proche en proche par l'ensemble des verticales et qui passe par cette origine.Cette surface de niveau, qui se rapproche le plus possible de la surface des mers, s'appelle le géoïde.C'est également la surface équipotentielle du champ de pesanteur terrestre en rotation.Le géoïde a été introduit en 1873 par le mathématicien allemand Johann Benedict Listing (Francfort, 25 juillet 1808 -Gôttingen, 24 décembre 1882).Mais cette surface empirique est irrégulière et peu accessible au calcul.La Terre est un solide de révolution un peu aplati aux pôles.On substitue donc au vrai géoïde une approximation donnée par un ellipsoïde de révolution, facile à définir mathématiquement à l'aide de deux paramètres (le grand et le petit axe), mais dont les écarts verticaux par rapport au géoïde peuvent atteindre plusieurs dizaines de mètres dans un sens comme dans l'autre.La principale conséquence de ces différences est d'introduire un écart entre la normale en un point de l'ellipsoïde et la normale au même point du géoïde (la verticale).Cet angle s'appelle la déviation de la verticale.Cette déviation est faible mais peut cependant atteindre des valeurs non négligeables dans les zones montagneuses et les zones volcaniques.Cependant, elle ne dépasse jamais 100'' et, en France, elle est inférieure à 15''.Les observations faites par rapport à la verticale doivent donc être corrigées de cette déviation pour être ramenées à la normale à l'ellipsoïde. 9La relation étroite entre géodésie et astronomie de position et l'existence d'un axe de rotation stable pour la Terre ont conduit à l'adoption d'un système de coordonnées géographiques.La colatitude d'un point est l'angle de la verticale avec la droite parallèle à l'axe de la Terre.Un parallèle est le lieu des points ayant même colatitude.Le parallèle qui passe par les points de colatitude égale à 90 degrés s'appelle l'équateur.Il sert d'origine au repérage des latitudes.Les parallèles sont donc des cercles de plus en plus petits qui ceinturent le globe de l'équateur aux pôles.Un plan méridien est un plan formé par la verticale, donnée par le fil à plomb, et la droite parallèle à l'axe de rotation de la Terre.Les méridiens sont des grands cercles de la Terre passant pas les pôles.Comment savoir si deux points sont situés sur le même méridien ?La réponse à cette question majeure est simple : l'ombre.La longueur de l'ombre d'un bâton, le gnomon, planté verticalement dans le sol change avec l'heure.L'ombre la plus courte s'appelle l'ombre méridienne car on l'observe quand le Soleil passe au méridien du lieu.Sa hauteur au dessus de l'horizon est alors la plus grande possible ; c'est le midi vrai.Au nord du Tropique du Cancer, l'ombre méridienne est orientée du Nord (sommet du piquet) au Sud (pied du piquet).Si deux points sont sur le même méridien alors leurs ombres méridiennes sont alignées ; elles suivent le méridien.La différence de longueur des ombres méridiennes de deux bâtons identiques situés sur le même méridien permet de connaître l'angle de l'arc qui les intercepte.En ajoutant un socle au gnomon, on obtient un cadran solaire rudimentaire.La longitude est l'angle d'un plan méridien choisi comme origine et du plan méridien du point considéré.Il existe une longitude astronomique définie sur le géoïde qui diffère de la longitude géodésique définie sur l'ellipsoïde.La latitude d'un lieu est l'angle entre la verticale de ce point et celle du point de l'équateur situé sur le même méridien.C'est l'angle complémentaire de la colatitude.Le parallèle de latitude zéro est donc l'équateur et sa position est fixée par les lois de la nature.Au contraire, le méridien de longitude zéro peut être fixé arbitrairement ; on Géodésie, topographie et cartographie Bulletin de la Sabix, 39 | 2005 3 voulut d'abord le fixer aux Canaries car ce sont les terres européennes les plus à l'Ouest (mais laquelle de ces îles fallait-il choisir ?), puis ce fut longtemps le méridien passant par Paris et c'est maintenant celui de Greenwich.Les débuts de la géodésie 10 Les anciens croyaient que la Terre était plate.Mais, était-ce un disque ou un carré ?Les deux points de vue pouvaient être admis et l'ont été selon les cultures.11 Les premières conceptions géodésiques sont naturellement liées à l'astronomie.Thalès de Milet (Milet, c. 625 -c.547 av.J.-C.) montre que les étoiles décrivent des cercles autour du pôle et prédit une éclipse du Soleil vers 585 av.J.-C.Grâce à la géométrie (et son fameux théorème en particulier) il calcule la hauteur des pyramides et mesure des distances en mer.Les Présocratiques (Anaximène, Anaximandre, Parménide, Héraclite, Empédocle, etc.) ont longtemps penché vers une conception plate de la Terre.Cependant ce sont les Grecs qui, les premiers, tiendront des raisonnements scientifiques en faveur de la rotondité de la Terre.En effet, Anaxagore, au Vè siècle avant J.-C., avait remarqué l'ombre circulaire faite par la terre lors des éclipses de Lune.La vision des navires à l'horizon renforçait cette conception.Enfin, quand on marche en direction du Nord, on voit l'Étoile Polaire de plus en plus haut dans le ciel et le Soleil de plus en plus bas à midi, phénomènes qui ne pourraient avoir lieu si la Terre était plate.Eudoxe de Cnide (Cnide, c. 406 -c.355 av.J.-C.) pense que la Terre est une sphère au centre d'une autre sphère plus grande.Pour les Ioniens, la géographie est inséparable de la géométrie.12 La première véritable mesure de la circonférence d'un méridien terrestre est due à Ératosthène de Cyrène (Cyrène, Libye, c. 284 -Alexandrie, c. 192 av.J.-C.).Mathématicien et astronome, il vivait à Alexandrie dont il dirigeait la fameuse bibliothèque.Entre Syène (Assouan) et Alexandrie, le tracé du cours du Nil ne s'écarte pas trop de celui d'un méridien.Ainsi que l'atteste l'architecte romain Marcus Vitruvius Pollio (Vitruve) au premier siècle av.J.-C., Érathosthène remarqua qu'à midi, au solstice d'été, le soleil frappait le fond des puits à Syène, proche du Tropique du Cancer, alors qu'il se trouvait à 7 o 12 du zénith à Alexandrie.Les Grecs savaient en effet mesurer des angles dès le IVè siècle avant J.C.. Le Parménide de Platon (Athènes, c. 428 -Athènes, c. 347 av.J.-C.) cite l'alidade, une règle orientable munie de repères, les pinnules, à ses extrémités et qui permet de viser un point.Grâce à un cercle gradué, on peut ainsi connaître l'angle entre deux directions.Pour appliquer les résultats de géométrie d'Euclide, Ératosthène supposa le Soleil situé à l'infini et assimila ses rayons à des droites parallèles.Avec ces deux hypothèses, il put alors appliquer le théorème qui dit que les droites qui tombent sur des parallèles produisent des angles alternes égaux.La distance entre Syène et Alexandrie étant de 5000 stades (1 stade = environ 185m), Ératosthène obtint 11562 km pour le quart du méridien terrestre.Signalons cependant que la longueur d'un stade diffère selon les commentateurs.

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