A dual Moser–Onofri inequality and its extensions to higher dimensional spheres
Notice bibliographique
Résumé
We use optimal mass transport to provide a new proof and a dual formula to the Moser–Onofri inequality on 𝕊 2 . This is in the same spirit as the approach of Cordero-Erausquin, Nazaret and Villani [5] to the Sobolev and Gagliardo–Nirenberg inequalities and the one of Agueh–Ghoussoub–Kang [1] to more general settings. There are however many hurdles to overcome once a stereographic projection on ℝ 2 is performed: Functions are not necessarily of compact support, hence boundary terms need to be evaluated. Moreover, the corresponding dual free energy of the reference probability density μ 2 ( x ) = 1 π ( 1 + | x | 2 ) 2 is not finite on the whole space, which requires the introduction of a renormalized free energy into the dual formula. We also extend this duality to higher dimensions and establish an extension of the Onofri inequality to spheres 𝕊 n with n ≥ 2 . What is remarkable is that the corresponding free energy is again given by F ( ρ ) = - n ρ 1 - 1 n , which means that both the prescribed scalar curvature problem and the prescribed Gaussian curvature problem lead essentially to the same dual problem whose extremals are stationary solutions of the fast diffusion equations.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,006 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,006 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,005 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,005 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,014 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».