On some density theorems in number theory and group theory
Notice bibliographique
Résumé
Gowers [31] in his paper on quasirandom groups studies a question of Babai and Sos asking whether there exists a constant c > 0 such that every finite group G has a product-free subset of size at least c|G|. Answering the question negatively, he proves that for sufficiently large prime p, the group PSL2( Fp ) has no product-free subset of size ≥ cn 8/9, where n is the order of PSL2( Fp ). We will consider the problem for compact groups and in particular for the profinite groups SLk( Zp ) and Sp2k( Zp ). In Part I of this thesis, we obtain lower and upper exponential bounds for the supremal measure of the product-free sets. The proof involves establishing a lower bound for the dimension of non-trivial representations of the finite groups SLk( Z /(pn Z )) and Sp2k( Z /(pn Z )). Indeed, our theorem extends and simplifies previous work of Landazuri and Seitz [49], where they consider the minimal degree of representations for Chevalley groups over a finite field. In Part II of this thesis, we move to algebraic number theory. A monogenic polynomial f is a monic irreducible polynomial with integer coefficients which produces a monogenic number field. For a given prime q, using the Chebotarev density theorem, we will show the density of primes p, such that tq – p is monogenic, is greater than or equal to (q – 1)/q. We will also prove that, when q = 3, the density of primes p, which Qpp3p is non-monogenic, is at least 1/9. Keywords. Profinite group, Complex representation, Hilbert-Schmidt operator, Singular value decomposition, Chebotarev density theorem, Monogenic field, Thue equation.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,020 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; les deux têtes enseignantes s’accordent sur ce qui est montré ici.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».