On some density theorems in number theory and group theory
Notice bibliographique
Résumé
Gowers [31] in his paper on quasirandom groups studies a question of Babai and Sos asking whether there exists a constant c > 0 such that every finite group G has a product-free subset of size at least c|G|. Answering the question negatively, he proves that for sufficiently large prime p, the group PSL2( Fp ) has no product-free subset of size ≥ cn 8/9, where n is the order of PSL2( Fp ). We will consider the problem for compact groups and in particular for the profinite groups SLk( Zp ) and Sp2k( Zp ). In Part I of this thesis, we obtain lower and upper exponential bounds for the supremal measure of the product-free sets. The proof involves establishing a lower bound for the dimension of non-trivial representations of the finite groups SLk( Z /(pn Z )) and Sp2k( Z /(pn Z )). Indeed, our theorem extends and simplifies previous work of Landazuri and Seitz [49], where they consider the minimal degree of representations for Chevalley groups over a finite field. In Part II of this thesis, we move to algebraic number theory. A monogenic polynomial f is a monic irreducible polynomial with integer coefficients which produces a monogenic number field. For a given prime q, using the Chebotarev density theorem, we will show the density of primes p, such that tq – p is monogenic, is greater than or equal to (q – 1)/q. We will also prove that, when q = 3, the density of primes p, which Qpp3p is non-monogenic, is at least 1/9. Keywords. Profinite group, Complex representation, Hilbert-Schmidt operator, Singular value decomposition, Chebotarev density theorem, Monogenic field, Thue equation.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,017 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,003 |
| Études des sciences et des technologies | 0,003 | 0,011 |
| Communication savante | 0,004 | 0,013 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,004 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,006 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,007 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».