The Spontaneous Emergence of Elementary Number-Theoretic Concepts and Techniques in Interaction with Computing Technology
Notice bibliographique
Résumé
We present in this paper five case studies of instrumental genesis of number-theoretic concepts and techniques involving multiples, divisors, and numerical decomposition. The pupils, who were 12 to 15 years old, used the multi-line screen display of the graphing calculator to explore numerical tasks related to the “Five steps to zero” problem. The paper begins with a mathematical task analysis of various techniques that could be used to determine divisibility by 9. Findings show that the use of the technological tool permits students of this age to spontaneously develop variants of these techniques within tasks that simultaneously afford the co-emergence of related conceptual notions. A body of current research in computer-supported mathematics learning environments is oriented toward the theoretical development and empirical study of the interactions among the following concepts: artefact, instrument, technique, task, and theory (e.g., Artigue, 2001; Guin & Trouche, 1999; Guzman & Kieran 2002; Lagrange, 2000; Mariotti, 2002; Trouche, 2000; Varillon & Rabardel, 1995). In particular, these studies discuss the role played by the instrument in the process of instrumental genesis within the context of specific tasks and with pupils of different ages and technological experience. In a paper presented last year at PME (Guzman & Kieran, 2002), we reported, for example, on the perceptions expressed by case-study students of the role played by the calculating tool in the evolution of their numerical conceptual schemas. The present paper, which is quite different, analyses the nature of the mathematical techniques that emerged spontaneously in representative participants of the study. By means of two case studies from each of Secondary 1 and 2, and one from Secondary 3, we illustrate the number-based interactions between students and their calculators and show how, within a given set of tasks, the students developed numerical techniques that were afforded by the technology-supported environment in which their numerical explorations occurred. The emergence of these techniques provides further evidence of the intertwining nature of the development of procedural and conceptual learning in mathematics. THE RESEARCH STUDY
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».