Increasing subsequences of random walks
Notice bibliographique
Résumé
Abstract Given a sequence of n real numbers { S i } i ⩽ n , we consider the longest weakly increasing subsequence, namely i 1 < i 2 < . . . < i L with S i k ⩽ S i k+1 and L maximal. When the elements S i are i.i.d. uniform random variables, Vershik and Kerov, and Logan and Shepp proved that ${\mathbb E} L=(2+o(1)) \sqrt{n}$ . We consider the case when { S i } i⩽n is a random walk on ℝ with increments of mean zero and finite (positive) variance. In this case, it is well known (e.g., using record times) that the length of the longest increasing subsequence satisfies ${\mathbb E} L\geq c\sqrt{n}$ . Our main result is an upper bound ${\mathbb E} L\leq n^{1/2 + o(1)}$ , establishing the leading asymptotic behavior. If { S i } i⩽n is a simple random walk on ℤ, we improve the lower bound by showing that ${\mathbb E} L \geq c\sqrt{n} \log{n}$ . We also show that if { S i } is a simple random walk in ℤ 2 , then there is a subsequence of { S i } i⩽n of expected length at least cn 1/3 that is increasing in each coordinate. The above one-dimensional result yields an upper bound of n 1/2+ o (1) . The problem of determining the correct exponent remains open.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,007 | 0,012 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,002 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».