On the existence and uniqueness of global solutions for the KdV equation with quasi-periodic initial data
Notice bibliographique
Résumé
We consider the KdV equation ∂ t u + ∂ x 3 u + u ∂ x u = 0 \partial _t u +\partial ^3_x u +u\partial _x u=0 with quasi-periodic initial data whose Fourier coefficients decay exponentially and prove existence and uniqueness, in the class of functions which have an expansion with exponentially decaying Fourier coefficients, of a solution on a small interval of time, the length of which depends on the given data and the frequency vector involved. For a Diophantine frequency vector and for small quasi-periodic data (i.e., when the Fourier coefficients obey | c ( m ) | ≤ ε exp ( − κ 0 | m | ) |c(m)| \le \varepsilon \exp (-\kappa _0 |m|) with ε > 0 \varepsilon > 0 sufficiently small, depending on κ 0 > 0 \kappa _0 > 0 and the frequency vector), we prove global existence and uniqueness of the solution. The latter result relies on our recent work [Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 119 (2014) 217] on the inverse spectral problem for the quasi-periodic Schrödinger equation.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,007 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,004 |
| Communication savante | 0,003 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,004 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».