Symétries et intégrabilité des équations aux différences finies

La présente thèse porte sur l'étude des symétries et des propriétés d'intégrabilité des équations aux différences finies.Dans le chapitre 1, le groupe de symétrie ponctuelle d'un système couplé à deux équations différentielles aux différences est étudié.On montre que dans certains cas, la dimension du groupe peut être infinie.Les équations peuvent décrire l'interaction de deux longues chaînes moléculaires, chacune étant composée d'atomes d'un même type.Dans le chapitre 2, une classe de théories de champs avec interaction exponentielle est introduite.L'interaction dépend de deux matrices de "couplage et est suffisamment générale pour inclure toutes les théories de champs de Toda existant dans la littérature.Les symétries de Lie ponctuelles sont obtenues pour les cas où l'on a un nombre fini, infini ou semi-infini de champs.Une attention spéciale est accordée à la présence de l'invariance conforme.Dans le chapitre 3, nous procédons à la classification et à l'étude d'équations linéarisables.Nous examinons tout d'abord l'équation de Gambier continue qui contient, comme réductions, toutes les équations de deuxième ordre intégrables par linéarisation.Nous introduisons par la suite la forme discrète de cette équation et obtenons les conditions d'intégrabilité à l'aide du confinement des singularités.Nous étudions aussi les différentes réductions du cas discret.De plus, nous obtenons des transformations de Schlesinger pour les équations de Gambier discrète et continue.Dans la dernière partie du chapitre, nous étudions une famille d'équations discrètes du deuxième ordre incluant des équations résolubles par linéarisation.Plusieurs cas intégrables sont obtenus.Dans le cas discret, l'étude de l'intégrabilité est faite à l'aide du confinement des singularités.Dans le chapitre 4, nous étudions un autre critère d'intégrabilité: l'entropie algébrique.Nous montrons que les résultats obtenus avec ce critère pour les équations linéarisables sont les mêmes que ceux obtenus avec le confinement des singularités.Nous obtenons de plus une méthode algorithmique pour la détection de la linéarisabilité.Le chapitre 5 est consacré à l'étude d'équations du troisième ordre.Nous obtenons des équations intégrables par des couplages d'équations du premier et du deuxième ordre.Les équations continues sont étudiées à l'aide de l'analyse de Painlevé et le confinement des singularités est utilisé dans le cas discret.REMERCIEMENTS Je voudrais commencer par remercier mon premier directeur de recherche, Pavel Winternitz, tout d'abord pour m'avoir proposer les nombreux sujets de recherche qui m'ont permis d'écrire cette thèse.Aussi, pour croire en moi et en mes possibilités de faire une carrière académique.Pour ne pas avoir hésité à m'aider financièrement quand j'en avais besoin et pour m'avoir permis, de façon directe ou indirecte, d'aller à l'étranger pour des conférences ou pour travailler.En deuxième lieu, je voudrais remercier mes directeurs officieux, Basile Grammaticos et Alfred Ramani, pour les nombreux sujets de recherches qu'ils m'ont proposés.Aussi, aller dans leur laboratoire à Paris m'a permis de rencontrer beaucoup de gens de mon domaine.Merci beaucoup d'avoir pris le temps de travailler avec moi même si je n'ai jamais été officiellement votre étudiant.Je voudrais aussi remercier mon deuxième directeur officiel, Jean-Pierre Gazeau, pour avoir été un directeur qui a accepté que je travaille dans un autre laboratoire que le sien.Je voudrais aussi le remercier sincèrement pour toutes les démarches administratives en France qui m'ont été facilitées grâce à lui.Je voudrais aussi le remercier pour le sujet de recherche qu'il m'a dernièrement proposé.Je voudrais remercier ma copine et femme de ma vie, Brigitte Morin pour son encouragement constant et pour son amour inconditionnel.Je voudrais aussi remercier tous mes amis du CRM pour leur appui.Je remercie aussi mes amis Louis-Sébastien Guimond, Erwig Lapalme, Vincent Lemaire et Philippe Zaugg pour leur appui et en plus pour leur aide à la rédaction de la vii présente thèse.Je voudrais aussi remercier sincèrement la femme de Pavel, Milada, qui s'est toujours montrée très gentille et très généreuse avec moi lors de nos séjours à l'étranger.Je voudrais aussi remercier tous les autres collaborateurs qui ont accepté de travailler avec moi pour les travaux inclus dans cette thèse: David Gómez-Ullate, Luigi Martina, Yasuhiro Ohta et Tamizhmani.Je voudrais aussi remercier les organismes subventionnaires qui m'ont aidé: le CRSNG, le FCAR, l'ISM et le ministère des relations internationales du Québec.Je voudrais aussi remercier les organisateurs des conférences et écoles qui m'ont permis de participer à ces événements:

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