Enregistrement W1633446687 · doi:10.1090/mcom/2978

The self-power map and collecting all residue classes

2015· article· en· W1633446687 sur OpenAlexaff

Catalina Anghel

Notice bibliographique

RevueMathematics of Computation · 2015

Typearticle

Langueen

DomaineComputer Science

ThématiqueCoding theory and cryptography

Établissements canadiensUniversity of Toronto

Organismes subventionnairesnon disponible

Mots-clésModuloMathematicsCombinatoricsExponential functionNatural numberDiscrete mathematicsFunction (biology)Upper and lower boundsPrime (order theory)Prime powerExponential sumMathematical analysis

DOI10.1090/mcom/2978

Résumé

récupéré en direct d'OpenAlex

The self-power map is the function from the set of natural numbers to itself which sends the number <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Motivated by applications to cryptography, we consider the image of this map modulo a prime <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We study the question of how large <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> must be so that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n Superscript n Baseline identical-to a mod p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo> ≡ </mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n^n \equiv a \bmod p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has a solution <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 less-than-or-equal-to n less-than-or-equal-to x"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1 \le n \le x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , for every residue class <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a"> <mml:semantics> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> modulo <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . While <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n Superscript n Baseline mod p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n^n \bmod p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is not uniformly distributed, it does appear to behave in certain ways as a random function. We give a heuristic argument to show that the expected <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is approximately <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p squared log phi left-parenthesis p minus 1 right-parenthesis slash phi left-parenthesis p minus 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi> ϕ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi> ϕ </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p^2\log \phi (p-1)/\phi (p-1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , using the coupon collector problem as a model. We prove the bound <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x greater-than p Superscript 2 minus alpha"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi> α </mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow>

Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.

Comment cette classification a été obtenuedéplier

Prédiction distillée sur la base complète

Imitation des enseignants

Ni prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.

score de la tête « metaresearch » (Codex)0,001

score de la tête « metaresearch » (Gemma)0,000

Version: codex-gemma-dda1882f352aStatut de validation: machine_predicted_unvalidated

Catégories candidatesaucune

Catégories consensuellesaucune

DomaineSignal candidat: aucune · Signal consensuel: aucune

Devis d'étudeSignal candidat: Théorique ou conceptuel · Signal consensuel: Théorique ou conceptuel

GenreSignal candidat: Empirique · Signal consensuel: aucune

Score de désaccord entre enseignants0,628

Score d'incertitude au seuil0,203

Scores Codex et Gemma par catégorie

Catégorie	Codex	Gemma
Métarecherche	0,001	0,000
Méta-épidémiologie (sens strict)	0,000	0,000
Méta-épidémiologie (sens large)	0,000	0,000
Bibliométrie	0,000	0,000
Études des sciences et des technologies	0,000	0,000
Communication savante	0,000	0,000
Science ouverte	0,000	0,000
Intégrité de la recherche	0,000	0,000
Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger)	0,000	0,000

Scores machine (provisoires)

Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.

Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.

Tête enseignante Opus0,032

Tête enseignante GPT0,278

Écart entre enseignants0,245 · la distance entre les deux têtes enseignantes sur ce seul travail

Statut de validationscore_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle

Classification

machine, non validée

Prédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.

Les modèles n’ont appliqué aucune catégorie : rien dans la taxonomie ne correspondait à ce travail.

Devis d'étudeThéorique ou conceptuel

Domainenon disponible

GenreEmpirique

Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».

En bref

Citations5

Publié2015

Routes d'admission1

Résumé présentoui

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