Lengths of geodesics between two points on a Riemannian manifold
Notice bibliographique
Résumé
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y"> <mml:semantics> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be two (not necessarily distinct) points on a closed Riemannian manifold <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. According to a well-known theorem by J.-P. Serre, there exist infinitely many geodesics between <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y"> <mml:semantics> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. It is obvious that the length of a shortest of these geodesics cannot exceed the diameter of the manifold. But what can be said about the lengths of the other geodesics? We conjecture that for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> there are <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> distinct geodesics of length <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="less-than-or-equal-to k d i a m left-parenthesis upper M Superscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mi>diam</mml:mi> <mml:mo><!-- --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\le k \operatorname {diam}(M^n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This conjecture is evidently true for round spheres and is not difficult to prove for all closed Riemannian manifolds with non-trivial torsion-free fundamental groups. In this paper we announce two further results in the direction of this conjecture. Our first result is that there always exists a second geodesic between <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y"> <mml:semantics> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of length not exceeding <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 n d i a m left-parenthesis upper M Superscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>diam</mml:mi> <mml:mo><!-- --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2n\operatorname {diam}(M^n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Our second result is that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n=2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M squared"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is diffeomorphic to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S squared"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then for every <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> every pair of points of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M squared"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> can be connected by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="k"> <mml:semantics> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> distinct geodesics of length less than or equal to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 4 k squared minus 2 k minus 1 right-parenthesis d i a m left-parenthesis upper M squared right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>diam</mml:mi> <mml:mo><!-- --></mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(4k^2-2k-1)\operatorname {diam}(M^2)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,010 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,003 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».