On the number of $N$-free elements with prescribed trace
Notice bibliographique
Résumé
In this paper we derive a formula for the number of $N$-free elements over a finite field $\mathbb{F}_q$ with prescribed trace, in particular trace zero, in terms of Gaussian periods. As a consequence, we derive a simple explicit formula for the number of primitive elements, in quartic extensions of Mersenne prime fields, having absolute trace zero. We also give a simple formula in the case when $Q = (q^m-1)/(q-1)$ is prime. More generally, for a positive integer $N$ whose prime factors divide $Q$ and satisfy the so called semi-primitive condition, we give an explicit formula for the number of $N$-free elements with arbitrary trace. In addition we show that if all the prime factors of $q-1$ divide $m$, then the number of primitive elements in $\mathbb{F}_{q^m}$, with prescribed non-zero trace, is uniformly distributed. Finally we explore the related number, $P_{q, m, N}(c)$, of elements in $\mathbb{F}_{q^m}$ with multiplicative order $N$ and having trace $c \in \mathbb{F}_q$. Let $N \mid q^m-1$ such that $L_Q \mid N$, where $L_Q$ is the largest factor of $q^m-1$ with the same radical as that of $Q$. We show there exists an element in $\mathbb{F}_{q^m}^*$ of (large) order $N$ with trace $0$ if and only if $m \neq 2$ and $(q,m) \neq (4,3)$. Moreover we derive an explicit formula for the number of elements in $\mathbb{F}_{p^4}$ with the corresponding large order $L_Q = 2(p+1)(p^2+1)$ and having absolute trace zero, where $p$ is a Mersenne prime.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,003 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».