Primes in intervals of bounded length
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
The infamous <italic>twin prime conjecture</italic> states that there are infinitely many pairs of distinct primes which differ by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Until recently this conjecture had seemed to be far out of reach with current techniques. However, in April 2013, Yitang Zhang proved the existence of a finite bound <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that there are infinitely many pairs of distinct primes which differ by no more than <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . This is a massive breakthrough, making the twin prime conjecture look highly plausible, and the techniques developed help us to better understand other delicate questions about prime numbers that had previously seemed intractable. Zhang even showed that one can take <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B equals 70000000"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>70000000</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B = 70000000</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Moreover, a co-operative team, <italic>Polymath8</italic> , collaborating only online, had been able to lower the value of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="4680"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>4680</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{4680}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . They had not only been more careful in several difficult arguments in Zhang’s original paper, they had also developed Zhang’s techniques to be both more powerful and to allow a much simpler proof (and this forms the basis for the proof presented herein). In November 2013, inspired by Zhang’s extraordinary breakthrough, James Maynard dramatically slashed this bound to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="600"> <mml:semantics> <mml:mn>600</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">600</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , by a substantially easier method. Both Maynard and Terry Tao, who had independently developed the same idea, were able to extend their proofs to show that for any given integer <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m greater-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m\geq 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> there exists a bound <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B Subscript m"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B_m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that there are infinitely many intervals of length <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B Subscript m"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B_m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> containing at least <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="m"> <mml:semantics> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">m</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> distinct primes. We will also prove this much stronger result herein, even showing that one can take <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B Subscript m Baseline equals e Superscript 8 m plus 5"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B_m=e^{8m+5}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . If Zhang’s method is combined with the Maynard–Tao setup, then it appears that the bound can be further reduced to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="246"> <mml:semantics> <mml:mn>246</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">246</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . If all of these techniques could be pushed to their limit, then we would obtain <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle