From topological to geometric equivalence in the classification of singularities at infinity for quadratic vector fields
Notice bibliographique
Résumé
In the topological classification of phase portraits no distinctions are made between a focus and a node and neither are they made between a strong and a weak focus or between foci of different orders. These distinctions are however important in the production of limit cycles close to the foci in perturbations of the systems. The distinction between the one direction node and the two directions node, which plays a role in understanding the behavior of solution curves around the singularities at infinity, is also missing in the topological classification. In this work we introduce the notion of \textit{geometric equivalence relation of singularities} which incorporates these important purely algebraic features. The \textit{geometric} equivalence relation is finer than the \textit{topological} one and also finer than the \textit{qualitative equivalence relation} introduced in \cite{J_L}. We also list all possibilities we have for finite and infinite singularities, taking into consideration these finer distinctions, and introduce notation for each one of them. %Our %long term goal is to use this finer and deeper equivalence relation to classify %the quadratic family according to their different \textit{geometric %configurations of singularities}, finite and infinite. In this work we give the classification theorem and bifurcation diagram in the 12-dimensional parameter space, using the \textit{geometric equivalence relation}, of the class of quadratic systems according to the configuration of singularities at infinity of the systems. Our classification theorem, stated in terms of invariant polynomials, is an algorithm for computing the \textit{geometric configurations} of infinite singularities for any family of quadratic systems, in any normal form. %The theorem we give also %contains a bifurcation diagram, done in the 12-parameter space, of %the \textit{geometric configurations} of singularities at infinity, %and this bifurcation set is algebraic in the parameter space. To %determine the bifurcation diagram of configurations of singularities %at infinity for any family of quadratic systems, given in any normal %form, becomes thus a simple task using computer algebra %calculations.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,005 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,005 |
| Communication savante | 0,003 | 0,005 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».