Finsler structure in the p-Wasserstein space and gradient flows
Pourquoi ce travail est dans la base
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Notice bibliographique
Résumé
It is known from the work of F. Otto (2001) [9], that the space of probability measures equipped with the quadratic Wasserstein distance, i.e., the 2-Wasserstein space, can be viewed as a Riemannian manifold. Here we show that when the quadratic cost is replaced by a general homogeneous cost of degree <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> , the corresponding space of probability measures, i.e., the p -Wasserstein space, can be endowed with a Finsler metric whose induced distance function is the p -Wasserstein distance. Using this Finsler structure of the p -Wasserstein space, we give definitions of the differential and gradient of functionals defined on this space, and then of gradient flows in this space. In particular we show in this framework that the parabolic q -Laplacian equation is a gradient flow in the p -Wasserstein space, where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> . When <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:math> , we recover the Riemannian structure introduced by F. Otto, which confirms that the 2-Wasserstein space is a Riemann–Finsler manifold. Our approach is confined to a smooth situation where probability measures are absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , and they have smooth and strictly positive densities.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle