On the complexity of the D5 principle
Notice bibliographique
Résumé
The standard approach for computing with an algebraic number is through the data of its irreducible minimal polynomial over some base field k. However, in typical tasks such as polynomial system solving, involving many algebraic numbers of high degree, following this approach will require using probably costly factorization algorithms. Della Dora, Dicrescenzo and Duval introduced "dynamic evaluation" techniques (also termed "D5 principle") [3] as a means to compute with algebraic numbers, while avoiding factorization. Roughly speaking, this approach leads one to compute over direct products of field extensions of k , instead of only field extensions. In this work, we address complexity issues for basic operations in such structures. Precisely, let [EQUATION] be a family of polynomials, called a triangular set, such that k ← K = k[X1,...,Xn]/T is a direct product of field extensions. We write δ for the dimension of K over k, which we call the degree of T. Using fast polynomial multiplication and Newton iteration for power series inverse, it is a folklore result that for any ε > 0, the operations (+, X) in K can be performed in cnεδ1+ε operations in k, for some constant cε. Using a fast Euclidean algorithm, a similar result easily carries over to inversion, in the special case when K is a field. Our main results are similar estimates for the general case, where K is merely a product of fields. Following the D5 philosophy, meeting zero-divisors in the computation will lead to splitting the triangular set T into a family thereof, defining the same extension. Inversion is then replaced by quasi-inversion: a quasi-inverse [6] of α ∈ K is a splitting of T, such that α is either zero or invertible in each component, together with the data of the corresponding inverses.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,023 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,004 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,003 |
| Études des sciences et des technologies | 0,004 | 0,007 |
| Communication savante | 0,008 | 0,022 |
| Science ouverte | 0,004 | 0,010 |
| Intégrité de la recherche | 0,003 | 0,009 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,016 | 0,003 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».