A version of Lomonosov’s theorem for collections of positive operators
Notice bibliographique
Résumé
It is known that for every Banach space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and every proper <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W upper O upper T"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">WOT</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -closed subalgebra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper L left-parenthesis upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">L(X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> contains a compact operator, then it is not transitive; that is, there exist non-zero <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x element-of upper X"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x\in X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f element-of upper X Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f\in X^*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mathematical left-angle f comma upper T x mathematical right-angle equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ⟨ </mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ⟩ </mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\langle f,Tx\rangle =0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper T element-of script upper A"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">T\in \mathcal A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . In the case of algebras of adjoint operators on a dual Banach space, V. Lomonosov extended this result as follows: without having a compact operator in the algebra, one has <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue mathematical left-angle f comma upper T x mathematical right-angle EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to double-vertical-bar upper T Subscript asterisk Baseline double-vertical-bar Subscript e"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ⟨ </mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ⟩ </mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\bigl \lv
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,002 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».