Robust and reliable defect control for Runge-Kutta methods
Notice bibliographique
Résumé
The quest for reliable integration of initial value problems (IVPs) for ordinary differential equations (ODEs) is a long-standing problem in numerical analysis. At one end of the reliability spectrum are fixed stepsize methods implemented using standard floating point, where the onus lies entirely with the user to ensure the stepsize chosen is adequate for the desired accuracy. At the other end of the reliability spectrum are rigorous interval-based methods, that can provide provably correct bounds on the error of a numerical solution. This rigour comes at a price, however: interval methods are generally two to three orders of magnitude more expensive than fixed stepsize floating-point methods. Along the spectrum between these two extremes lie various methods of different expense that estimate and control some measure of the local errors and adjust the stepsize accordingly. In this article, we continue previous investigations into a class of interpolants for use in Runge-Kutta methods that have a defect function whose qualitative behavior is asymptotically independent of the problem being integrated. In particular the point, in a step, where the maximum defect occurs as h → 0 is known a priori. This property allows the defect to be monitored and controlled in an efficient and robust manner even for modestly large stepsizes. Our interpolants also have a defect with the highest possible order given the constraints imposed by the order of the underlying discrete formula. We demonstrate the approach on three Runge-Kutta methods of orders 5, 6, and 8, and provide Fortran and preliminary Matlab interfaces to these three new integrators. We also consider how sensitive such methods are to roundoff errors. Numerical results for four problems on a range of accuracy requests are presented.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,008 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,002 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».