Regularity of optimal transport maps on multiple products of spheres
Notice bibliographique
Résumé
This article addresses regularity of optimal transport maps for cost = “squared distance” on Riemannian manifolds that are products of arbitrarily many round spheres with arbitrary sizes and dimensions. Such manifolds are known to be non-negatively cross-curved. Under boundedness and non-vanishing assumptions on the transfered source and target densities we show that optimal maps stay away from the cut-locus (where the cost exhibits singularity), and obtain injectivity and continuity of optimal maps. This together with the result of Liu, Trudinger and Wang also implies higher regularity ( C^{1, \alpha}/C^\infty ) of optimal maps for smoother ( C^\alpha/C^\infty ) densities. These are the first global regularity results which we are aware of concerning optimal maps on Riemannian manifolds which possess some vanishing sectional curvatures, beside the totally flat case of \mathbb R^n and its quotients. Moreover, such product manifolds have potential relevance in statistics and in statistical mechanics (where the state of a system consisting of many spins is classically modeled by a point in the phase space obtained by taking many products of spheres). For the proof we apply and extend the method developed in [FKM1], where we showed injectivity and continuity of optimal maps on domains in \mathbb R^n for smooth non-negatively cross-curved cost. The major obstacle in the present paper is to deal with the non-trivial cut-locus and the presence of flat directions.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,006 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».