Invariants for the modular cyclic group of prime order via classical invariant theory
Notice bibliographique
Résumé
Let \mathbb F be any field of characteristic p . It is well-known that there are exactly p inequivalent indecomposable representations V_1,V_2,\dots,V_p of C_p defined over \mathbb F . Thus if V is any finite dimensional C_p -representation there are non-negative integers 0\leq n_1,n_2,\dots, n_k \leq p-1 such that V \cong \oplus_{i=1}^k V_{n_i+1} . It is also well-known there is a unique (up to equivalence) d+1 dimensional irreducible complex representation of SL _2(\mathbb C) given by its action on the space R_d of d forms. Here we prove a conjecture, made by R. J. Shank, which reduces the computation of the ring of C_p -invariants \mathbb F[ \oplus_{i=1}^k V_{n_i+1}]^{C_p} to the computation of the classical ring of invariants (or covariants) \mathbb C[R_1 \oplus (\oplus_{i=1}^k R_{n_i})]^{\mathrm {SL}_2(\mathbb C)} . This shows that the problem of computing modular C_p invariants is equivalent to the problem of computing classical SL _2(\mathbb C) invariants. This allows us to compute for the first time the ring of invariants for many representations of C_p . In particular, we easily obtain from this generators for the rings of vector invariants \mathbb F[m\,V_2]^{C_p} , \mathbb F[m\,V_3]^{C_p} and \mathbb F[m\,V_4]^{C_p} for all m \in \mathbb N . This is the first computation of the latter two families of rings of invariants.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,002 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,005 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».