Solution of the Schrödinger equation for two electrons in axially symmetric cavities
Notice bibliographique
Résumé
We present a method of solving the Schr\"odinger equation for two electrons confined in an almost arbitrary infinite-potential well of ${D}_{\ensuremath{\infty}h}$ symmetry. The boundary conditions for the wave function are imposed by devising a one-electron basis set that incorporates detailed information about the shape of the cavity. Two-electron integrals are evaluated using a fully separable expansion of the Coulomb operator similar to that developed earlier by the authors for a cylindrical cavity. To illustrate the capabilities of our approach, we present full configuration-interaction solutions for the lowest ${}^{1}{\ensuremath{\Sigma}}_{g}^{+}$ and ${}^{3}{\ensuremath{\Sigma}}_{u}^{+}$ states of two electrons in four axially symmetric cavities: a sphere, a cylinder, a bulged cylinder, and a capsule. By comparing the ground-state electronic energies for different cavities of equal volume $V$, we find that spherical confinement is optimal for $V\ensuremath{\lesssim}1500{a}_{0}^{3}$; for larger volumes, the capsule-shaped system has a significantly lower energy. This switchover is driven by the same physical mechanism as Wigner crystallization and may serve as an indication of that process. The magnitude of the singlet-triplet gap strongly depends on the shape of the cavity and, for a fixed volume, decreases in the following order: bulged cylinder, sphere, cylinder, capsule.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».