Mathematica program for extracting one-turn Lie generator map. application of TPSA
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Notice bibliographique
Résumé
Abstract The Lie Algebra package LieMath, written in the Mathematica language, constructs the one-turn nonlinear map for a given lattice of optical elements. The method used is a BCH-based map concatenation. Truncated power series algebra (TPSA) techniques have been implemented to compute the Poisson bracket and extract the map faster than when one relies on the symbolic capabilities of Mathematica to operate on truncated multivariate Taylor series. In addition, this makes possible obtaining parameter-dependent numerical maps and optimization of nonlinear parameters. © 2008 Elsevier B.V. All rights reserved. PACS: 41.85.-p; 02.70.Wz Keywords: Beam optics, Lie algebra, Nonlinear maps 1. Introduction The Lie algebraic method allows us to create the nonlinear map of a beamline, either in Lie operator form, or as Taylor expansions of final coordinates in terms of initial coordinates. In a map concaten ation based on the Baker- Cambell-Hausdorff (BCH) expansion, the mo st computationally intensive part is calculation of the Poisson brackets (PB). Therefore, differential algebra libraries are needed to carry out fast computations w ith polynomials and vector functions of polynomials. To build the map, a symbolic computational system may be used such as Mathematica [1], [2], [3]. The most straightforward approach involves encoding the PB as an operator on multivariate polynomials produced by the truncated series expansion of the (piecewise constant) Hamiltonian. One then relies on the symbolic engine to perform the product and derivative needed for the PB. Using a symbolic system gives additional flexibility: easy switching between nume rical and analytical calculations and also getting analytical dependence on parameters [1],[5]. The main disadv antage is speed, which is slow for large lattices. In automatic differentiation, or Truncated power series algebra (TPSA) [6 8], the array of Taylor coefficients in the expansion of a multivariate function is computed not by symbolic differentiation, or by numerical
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle