The singular extremal solutions of the bi-Laplacian with exponential nonlinearity
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Consider the problem <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column normal upper Delta squared u equals lamda e Superscript u Baseline 2nd Column a m p semicolon in upper B comma 2nd Row 1st Column u equals StartFraction partial-differential u Over partial-differential n EndFraction equals 0 2nd Column a m p semicolon on partial-differential upper B comma EndLayout EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable columnalign="right center left" rowspacing="3pt" columnspacing="0 thickmathspace" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mtext>on </mml:mtext> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{eqnarray*} \left \{ \begin {array}{ll} \Delta ^2 u= \lambda e^{u} &\text {in } B,\\ u=\frac {\partial u}{\partial n}=0 &\text {on }\partial B, \end{array} \right . \end{eqnarray*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the unit ball in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript upper N"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\mathbb {R}}^N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda"> <mml:semantics> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a parameter. Unlike the Gelfand problem the natural candidate <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u equals minus 4 ln left-parenthesis StartAbsoluteValue x EndAbsoluteValue right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>ln</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u=-4\ln (|x|)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , for the extremal solution, does not satisfy the boundary conditions, and hence showing the singular nature of the extremal solution in large dimensions close to the critical dimension is challenging. Recently a computer-assisted proof was used to show that the extremal solution is singular in dimensions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="13 less-than-or-equal-to upper N less-than-or-equal-to 31"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>13</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi>
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle