Polynomials with coefficients from a finite set
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
In 1945 Duffin and Schaeffer proved that a power series that is bounded in a sector and has coefficients from a finite subset of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is already a rational function. Their proof is relatively indirect. It is one purpose of this paper to give a shorter direct proof of this beautiful and surprising theorem. This will allow us to give an easy proof of a recent result of two of the authors stating that a sequence of polynomials with coefficients from a finite subset of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper C"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> cannot tend to zero uniformly on an arc of the unit circle. Another main result of this paper gives explicit estimates for the number and location of zeros of polynomials with bounded coefficients. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n"> <mml:semantics> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be so large that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="delta Subscript n Baseline colon equals 33 pi StartFraction log n Over StartRoot n EndRoot EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> δ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:=</mml:mo> <mml:mn>33</mml:mn> <mml:mi> π </mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>log</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msqrt> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\delta _n:=33\pi \frac {\log n}{\sqrt {n}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> satisfies <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="delta Subscript n Baseline less-than-or-equal-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi> δ </mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\delta _n\le 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . We show that any polynomial in <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row 1st Column upper K Subscript n 2nd Column a m p semicolon colon equals StartSet sigma-summation Underscript k equals 0 Overscript n Endscripts a Subscript k Baseline z Superscript k Baseline colon StartAbsoluteValue a 0 EndAbsoluteValue equals StartAbsoluteValue a Subscript n Baseline EndAbsoluteValue equals 1 and StartAbsoluteValue a Subscript k Baseline EndAbsoluteValue less-than-or-equal-to 1 EndSet EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mo>:=</mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">{</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mtext> and </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub>
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle