A Simple Derivation of Newton-Cotes Formulas with Realistic Errors
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
In order to approximate the integral $I(f)=\int_a^b f(x) dx$, where $f$ is a sufficiently smooth function, models for quadrature rules are developed using a given {\it panel} of $n\,\,(n\geq 2)$ equally spaced points. These models arise from the undetermined coefficients method, using a Newton's basis for polynomials. Although part of the final product is algebraically equivalent to the well known closed Newton-Cotes rules, the algorithms obtained are not the classical ones.In the basic model the most simple quadrature rule $Q_n$ is adopted (the so-called left rectangle rule) and a correction $\tilde E_n$ is constructed, so that the final rule $S_n=Q_n+\tilde E_n$ is interpolatory. The correction $\tilde E_n$, depending on the divided differences of the data, might be considered a {\em realistic correction} for $Q_n$, in the sense that $\tilde E_n$ should be close to the magnitude of the true error of $Q_n$, having also the correct sign. The analysis of the theoretical error of the rule $S_n$ as well as some classical properties for divided differences suggest the inclusion of one or two new points in the given panel. When $n$ is even it is included one point and two points otherwise. In both cases this approach enables the computation of a {\em realistic error} $\bar E_{S_n}$ for the {\it extended or corrected} rule $S_n$. The respective output $(Q_n,\tilde E_n, S_n, \bar E_{S_n})$ contains reliable information on the quality of the approximations $Q_n$ and $S_n$, provided certain conditions involving ratios for the derivatives of the function $f$ are fulfilled. These simple rules are easily converted into {\it composite} ones. Numerical examples are presented showing that these quadrature rules are useful as a computational alternative to the classical Newton-Cotes formulas.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,010 | 0,010 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle