On the Operator $\circledast^{k}$ Related to Heat Equation

In this paper, we study the equation$$\frac{\partial}{\partial t}\,u(x,t)+c^2(-\circledast)^{k} u(x,t)=0 $$ with the initial condition$$u(x,0)=f(x)$$for $x\in\mathbb{R}^n$-the $n$-dimensional Euclidean space. Theoperator $(\circledast)^{k} $ is operator iterated $k$ times ,defined by\begin{eqnarray*} \circledast^{k}&=&\left(\left(\sum^{p}_{i=1}\frac{\partial^2}{\partialx^2_i}\right)^{3}+\left(\sum^{p+q}_{j=p+1}\frac{\partial^2}{\partialx^2_j}\right)^{3}\right)^{k}\\\end{eqnarray*} $p+q=n$ is the dimension of the Euclidean space$\mathbb{R}^n$, $u(x,t)$ is an unknown function for$(x,t)=(x_1,x_2,\ldots,x_n,t)\in \mathbb{R}^n\times (0,\infty)$,$f(x)$ is the given generalized function , $k$ is a positive integerand $c$ is a positive constant. Moreover, if we put $q=0$ and$k=1$we obtain the solution of equation.$$\frac{\partial}{\partialt}\,u(x,t)-c^2\triangle^3u(x,t)=0$$ Which is related to thetriharmonic heat equation.\\

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