Biases in the Shanks—Rényi Prime Number Race
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Rubinstein and Sarnak investigated systemsof inequalities of the form π(x; q, a1) > … > π(x; q, ar), where p(x; q, b) denotes the number of primes up to x that are congruent to b mod q. They showed, under standard hypotheses on the zeros of Dirichlet L-functions mod q, that the set of positive real numbers x for which these inequalities hold has positive (logarithmic) density δq;al, … .ar > 0. They also discovered the surprising fact that a certain distribution associated with these densities is not symmetric under permutations of the residue classes aj in general, even if the aj are all squaresor all nonsquares mod q (a condition necessary to avoid obvious biases of the type first observed by Chebyshev). This asymmetry suggests, contrary to prior expectations, that the densities δq;al , …,ar themselves vary under permutations of the aj. Here we derive (under the hypotheses used by Rubinstein and Sarnak) a general formula for the densities δq;al , …,ar, and We use this formula to calculate many of these densities when q ≤ 12 and r ≤ 4. For the special moduli q = 8 and q = 12, and for {al, a2,a3} a permutation of the nonsquares {3, 5, 7} mod 8 and {5, 7, 11} mod 12, respectively, we rigorously bound the error in our calculations, thus verifying that these densities are indeed asymmetric under permutation of the aj. We also determine several situations in which the densities δq;al , …, ar remain unchanged under certain permutations of the aj, and some situations in which they are provably different.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,016 | 0,003 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle