Zigzag and Breakup Instabilities of Stripes and Rings in the Two‐Dimensional Gray–Scott Model
Notice bibliographique
Résumé
Two different types of instabilities of equilibrium stripe and ring solutions are studied for the singularly perturbed two‐component Gray–Scott (GS) model in a two‐dimensional domain. The analysis is performed in the semi‐strong interaction limit where the ratio O (ɛ −2 ) of the two diffusion coefficients is asymptotically large. For ɛ→ 0 , an equilibrium stripe solution is constructed where the singularly perturbed component concentrates along the mid‐line of a rectangular domain. An equilibrium ring solution occurs when this component concentrates on some circle that lies concentrically within a circular cylindrical domain. For both the stripe and the ring, the spectrum of the linearized problem is studied with respect to transverse (zigzag) and varicose (breakup) instabilities. Zigzag instabilities are associated with eigenvalues that are asymptotically small as ɛ→ 0 . Breakup instabilities, associated with eigenvalues that are O (1) as ɛ→ 0 , are shown to lead to the disintegration of a stripe or a ring into spots. For both the stripe and the ring, a combination of asymptotic and numerical methods are used to determine precise instability bands of wavenumbers for both types of instabilities. The instability bands depend on the relative magnitude, with respect to ɛ, of a nondimensional feed‐rate parameter A of the GS model. Both the high feed‐rate regime A = O (1) , where self‐replication phenomena occurs, and the intermediate regime O (ɛ 1/2 ) ≪ A ≪ O (1) are studied. In both regimes, it is shown that the instability bands for zigzag and breakup instabilities overlap, but that a zigzag instability is always accompanied by a breakup instability. The stability results are confirmed by full numerical simulations. Finally, in the weak interaction regime, where both components of the GS model are singularly perturbed, it is shown from a numerical computation of an eigenvalue problem that there is a parameter set where a zigzag instability can occur with no breakup instability. From full‐scale numerical computations of the GS, it is shown that this instability leads to a large‐scale labyrinthine pattern.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».