On the best possible remaining term in the Hardy inequality
Notice bibliographique
Résumé
We give a necessary and sufficient condition on a radially symmetric potential V on a bounded domain Omega of (n) that makes it an admissible candidate for an improved Hardy inequality of the following type. For every element in H(1)(0)(Omega) integral(Omega) |vector differential u|2 dx - ((n - 2)/2)2 integral(Omega) |u|2/|x|2 dx > or = c integral(Omega) V(x)|u|2 dx. A characterization of the best possible constant c(V) is also given. This result yields easily the improved Hardy's inequalities of Brezis-Vázquez [Brezis H, Vázquez JL (1997) Blow up solutions of some nonlinear elliptic problems. Revista Mat Univ Complutense Madrid 10:443-469], Adimurthi et al. [Adimurthi, Chaudhuri N, Ramaswamy N (2002) An improved Hardy Sobolev inequality and its applications. Proc Am Math Soc 130:489-505], and Filippas-Tertikas [Filippas S, Tertikas A (2002) Optimizing improved Hardy inequalities. J Funct Anal 192:186-233] as well as the corresponding best constants. Our approach clarifies the issue behind the lack of an optimal improvement while yielding the following sharpening of known integrability criteria: If a positive radial function V satisfies lim inf(r-->o) ln(r) integral(r)(o),sV(s) ds > -infinity, then there exists rho: = rho(Omega) > 0 such that the above inequality holds for the scaled potential v(rho)(x) = v((|x|)(rho)). On the other hand, if lim (r-->0) ln(r) integral(r)(o),sV(s) ds = -infinity, then there is no rho > 0 for which the inequality holds for V(rho).
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,006 | 0,014 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,002 | 0,005 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,004 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,007 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».