Hybrid symbolic-numeric integration in multiple dimensions via tensor-product series
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Notice bibliographique
Résumé
We present a new hybrid symbolic-numeric method for the fast and accurate evaluation of definite integrals in multiple dimensions. This method is well-suited for two classes of problems: (1) analytic integrands over general regions in two dimensions, and (2) families of analytic integrands with special algebraic structure over hyperrectangular regions in higher dimensions.The algebraic theory of multivariate interpolation via natural tensor product series was developed in the doctoral thesis by Chapman, who named this broad new scheme of bilinear series expansions "Geddes series" in honour of his thesis supervisor. This paper describes an efficient adaptive algorithm for generating bilinear series of Geddes-Newton type and explores applications of this algorithm to multiple integration. We will present test results demonstrating that our new adaptive integration algorithm is effective both in high dimensions and with high accuracy. For example, our Maple implementation of the algorithm has successfully computed nontrivial integrals with hundreds of dimensions to 10-digit accuracy, each in under 3 minutes on a desktop computer.Current numerical multiple integration methods either become very slow or yield only low accuracy in high dimensions, due to the necessity to sample the integrand at a very large number of points. Our approach overcomes this difficulty by using a Geddes-Newton series with a modest number of terms to construct an accurate tensor-product approximation of the integrand. The partial separation of variables achieved in this way reduces the original integral to a manageable bilinear combination of integrals of essentially half the original dimension. We continue halving the dimensions recursively until obtaining one-dimensional integrals, which are then computed by standard numeric or symbolic techniques.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,000 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle