Enregistrement W2029968496 · doi:10.1007/s10240-013-0058-x

On the inverse spectral problem for the quasi-periodic Schrödinger equation

2013· preprint· fr· W2029968496 sur OpenAlexaff

David Damanik, Michael Goldstein

Notice bibliographique

RevuePublications mathématiques de l IHÉS · 2013

Typepreprint

Languefr

DomaineMathematics

ThématiqueSpectral Theory in Mathematical Physics

Établissements canadiensUniversity of Toronto

Organismes subventionnairesnon disponible

Mots-clésKappaPhysicsFourier transformInverseSpectrum (functional analysis)Mathematical physicsFourier seriesCombinatoricsMathematical analysisMathematicsQuantum mechanicsGeometry

DOI10.1007/s10240-013-0058-x

Résumé

récupéré en direct d'OpenAlex

We study the quasi-periodic Schrödinger equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:mo>'</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>𝐑</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> in the regime of “small” <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> . Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>'</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:mo>'</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>𝐙</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , be the standard labeled gaps in the spectrum. Our main result says that if ∈ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:mo>'</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>'</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo form="prefix">exp</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>𝐙</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:math> being small enough, depending on κ 0 >0 and the frequency vector involved, then the Fourier coefficients of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> obey <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix">exp</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for all <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>𝐙</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . On the other hand we prove that if | c ( m )|≤ ε exp(− κ 0 | m |) with <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:math> being small enough, depending on κ 0 >0 and the frequency vector involved, then <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:mo>'</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>'</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn>

Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.

Comment cette classification a été obtenuedéplier

Prédiction distillée sur la base complète

Imitation des enseignants

Ni prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.

score de la tête « metaresearch » (Codex)0,004

score de la tête « metaresearch » (Gemma)0,008

Version: codex-gemma-dda1882f352aStatut de validation: machine_predicted_unvalidated

Catégories candidatesMéta-épidémiologie (sens strict), Études des sciences et des technologies, Communication savante, Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger)

Catégories consensuellesCharge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger)

DomaineSignal candidat: aucune · Signal consensuel: aucune

Devis d'étudeSignal candidat: Théorique ou conceptuel · Signal consensuel: Théorique ou conceptuel

GenreSignal candidat: Méthodes · Signal consensuel: Méthodes

Score de désaccord entre enseignants0,184

Score d'incertitude au seuil1,000

Scores Codex et Gemma par catégorie

Catégorie	Codex	Gemma
Métarecherche	0,004	0,008
Méta-épidémiologie (sens strict)	0,001	0,001
Méta-épidémiologie (sens large)	0,001	0,001
Bibliométrie	0,000	0,001
Études des sciences et des technologies	0,001	0,001
Communication savante	0,002	0,001
Science ouverte	0,003	0,001
Intégrité de la recherche	0,001	0,002
Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger)	0,004	0,002

Scores machine (provisoires)

Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.

Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.

Tête enseignante Opus0,080

Tête enseignante GPT0,325

Écart entre enseignants0,246 · la distance entre les deux têtes enseignantes sur ce seul travail

Statut de validationscore_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle

Classification

machine, non validée

Prédiction automatique; les deux têtes enseignantes s’accordent sur ce qui est montré ici.

Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger)

Devis d'étudeThéorique ou conceptuel

Domainenon disponible

GenreMéthodes

Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».

En bref

Citations6

Publié2013

Routes d'admission1

Résumé présentoui

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