Stochastic perturbations and Ulam'smethod for W-shaped maps
Notice bibliographique
Résumé
For a discrete dynamical system given by a map $\tau :I\rightarrow I$, thelong term behavior is described by the probability density function (pdf) ofan absolutely continuous invariant measure. This pdf is the fixed point ofthe Frobenius-Perron operator on $L^{1}(I)$ induced by $\tau$. Ulamsuggested a numerical procedure for approximating a pdf by using matrixapproximations to the Frobenius-Perron operator. In [12] Li provedthe convergence for maps which are piecewise $C^{2}$ and satisfy$|\tau'| >2.$ In this paper we will consider a largerclass of maps with weaker smoothness conditions and a harmonic slopecondition which permits slopes equal to $\pm $2. Using a generalizedLasota-Yorke inequality [4], we establish convergence for the Ulamapproximation method for this larger class of maps. Ulam's methodis a special case of small stochastic perturbations. We obtain stability of the pdf under such perturbations.Although our conditions apply to manymaps, there are important examples which do not satisfy these conditions,for example the $W$-map [7]. The $W$-map is highly unstable in the sense thatit is possible to construct perturbations $W_a$ withabsolutely continuous invariant measures (acim) $\mu_a$such that $\mu_a$ converge to a singular measure although $W_a$ converge to $W$. We prove the convergence of Ulam's methodfor the $W$-map by direct calculations.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,007 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,001 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».