Expansions for eigenfunction and eigenvalues of large-$n$ Toeplitz matrices
Notice bibliographique
Résumé
This paper constructs methods for finding convergent expansions for eigenvectors and eigenvalues of large-$n$ Toeplitz matrices based on a situation in which the analogous infinite-$n$ matrix would be singular. It builds upon work done by Dai, Geary, and Kadanoff [H Dai et al., J. Stat. Mech. P05012 (2009)] on exact eigenfunctions for Toeplitz operators which are infinite-dimension Toeplitz matrices. One expansion for the finite-$n$ case is derived from the operator eigenvalue equations obtained by continuing the finite-$n$ Toeplitz matrix to plus infinity. A second expansion is obtained by continuing the finite-$n$ matrix to minus infinity. The two expansions work together to give an apparently convergent expansion for the finite-$n$ eigenvalues and eigenvectors, based upon a solvability condition for determining eigenvalues. The expansions involve an expansion parameter expressed as an inverse power of $n$. A variational principle is developed, which gives an approximate expression for determining eigenvalues. The lowest order asymptotics for eigenvalues and eigenvectors agree with the earlier work [H Dai et al., J. Stat. Mech. P05012 (2009)]. The eigenvalues have a $(\ln n)/n$ term as their leading finite-$n$ correction in the central region of the spectrum. The $1/n$ correction in this region is obtained here for the first time.Received: 19 October 2009; Accepted: 29 September 2010; Edited by: A. G. Green; Reviewed by: T. Ehrhardt, Math. Dept., Univ. California, Santa Cruz, USA; DOI: 10.4279/PIP.020003
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,005 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,001 | 0,002 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,005 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».