Notice bibliographique
Résumé
Two functional equations are considered that are motivated by three considerations: work in utility theory and psychophysics, questions concerning when pairs of degree 1 homogeneous functions can be homomorphic and calculating their homomorphisms, and the link of the latter questions to quasilinear mean values. The first equation is \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document} \begin{equation*}\boldsymbol{{\mathit{h}}}(\boldsymbol{{\mathrm{{\sigma}}}}(\boldsymbol{{\mathit{y}}})\boldsymbol{{\mathit{x}}{\mathrm{\hspace{.167em}+\hspace{.167em}}}}[\boldsymbol{{\mathrm{1\hspace{.167em}-\hspace{.167em}{\sigma}}}}(\boldsymbol{{\mathit{y}}})]\boldsymbol{{\mathit{y}}})\boldsymbol{{\mathrm{\hspace{.167em}=\hspace{.167em}{\tau}}}}(\boldsymbol{{\mathit{y}}})\boldsymbol{{\mathit{h}}}(\boldsymbol{{\mathit{x}}})\boldsymbol{\hspace{.167em}}\end{equation*}\end{document} \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document} \begin{equation*}\boldsymbol{{\mathrm{+\hspace{.167em}}}}[\boldsymbol{{\mathrm{1\hspace{.167em}-\hspace{.167em}{\tau}}}}(\boldsymbol{{\mathit{y}}})]\boldsymbol{{\mathit{h}}}(\boldsymbol{{\mathit{y}}})\boldsymbol{\hspace{1em}}(\boldsymbol{{\mathit{x}}{\mathrm{\hspace{.167em}{\geq}\hspace{.167em}}}{\mathit{y}}{\mathrm{\hspace{.167em}{\geq}\hspace{.167em}0}}})\boldsymbol{{\mathrm{,}}}\end{equation*}\end{document} where h maps [0, ∞[ into a subset of [0, ∞[ and is strictly increasing and continuously differentiable; the functions σ and τ map [0, ∞[ continuously into [0, 1], σ( y ) > 0 for y > 0 but σ is not 1 on ]0, ∞[. The solutions are fully determined. (Recently Zsolt Páles has eliminated the differentiability assumption.) The second equation is \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document} \begin{equation*}\boldsymbol{{\mathit{h}}}[\boldsymbol{{\mathit{y}}{\mathrm{\hspace{.167em}+\hspace{.167em}}}{\mathit{f}}}(\boldsymbol{{\mathit{x}}{\mathrm{\hspace{.167em}-\hspace{.167em}}}{\mathit{y}}})]\boldsymbol{{\mathrm{\hspace{.167em}=\hspace{.167em}}}{\mathit{h}}}(\boldsymbol{{\mathit{y}}})\boldsymbol{{\mathrm{\hspace{.167em}+\hspace{.167em}}}{\mathit{g}}}[\boldsymbol{{\mathit{h}}}(\boldsymbol{{\mathit{x}}})\boldsymbol{{\mathrm{\hspace{.167em}-\hspace{.167em}}}{\mathit{h}}}(\boldsymbol{{\mathit{y}}})]\boldsymbol{\hspace{1em}}(\boldsymbol{{\mathit{x}}{\mathrm{\hspace{.167em}{\geq}\hspace{.167em}}}{\mathit{y}}{\mathrm{\hspace{.167em}{\geq}\hspace{.167em}0}}})\boldsymbol{{\mathrm{,}}}\end{equation*}\end{document} where h maps [0, ∞[ onto a subinterval of positive length of [0, ∞[ and is strictly increasing and twice continuously differentiable, f and g map [0, ∞[ onto [0, ∞[ and are twice differentiable, and either f "(0) ≠ 0 or g "(0) ≠ 0. The solutions are fully determined under these conditions. When f "(0) = g "(0) = 0 and h " is not identically zero, we determine the solutions under the added assumption of analyticity. It remains an open problem to find the solutions in the latter case under the assumption of only second order differentiability. A more general open problem is to eliminate all differentiability conditions for the second equation.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,007 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,003 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,004 |
| Communication savante | 0,004 | 0,008 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,003 | 0,005 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,019 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».