Functions preserving positive definiteness for sparse matrices
Notice bibliographique
Résumé
We consider the problem of characterizing entrywise functions that preserve the cone of positive definite matrices when applied to every off-diagonal element. Our results extend theorems of Schoenberg [Duke Math. J., 9], Rudin [Duke Math. J., 26], Christensen and Ressel [Trans. Amer. Math. Soc., 243], and others, where similar problems were studied when the function is applied to all elements, including the diagonal ones. It is shown that functions that are guaranteed to preserve positive definiteness cannot at the same time induce sparsity, i.e., set elements to zero. These results have important implications for the regularization of positive definite matrices, where functions are often applied to only the off-diagonal elements to obtain sparse matrices with better properties (e.g., Markov random field/graphical model structure, better condition number). As a particular case, it is shown that soft-thresholding , a commonly used operation in modern high-dimensional probability and statistics, is not guaranteed to maintain positive definiteness, even if the original matrix is sparse. This result has a deep connection to graphs, and in particular, to the class of trees. We then proceed to fully characterize functions which do preserve positive definiteness. This characterization is in terms of absolutely monotonic functions and turns out to be quite different from the case when the function is also applied to diagonal elements. We conclude by giving bounds on the condition number of a matrix which guarantee that the regularized matrix is positive definite.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,013 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».