Improved bounds on the size of sparse parity check matrices
Notice bibliographique
Résumé
Let NF;(n, k, r) denote the maximum number of columns in an n-row matrix with entries in a finite field F in which each column has at most r nonzero entries and every k columns are linearly independent over F. Such sparse parity check matrices are fundamental tools in coding theory, derandomization and complexity theory. We obtain near-optimal theoretical upper bounds for NF(n, k, r) in the important case k > r, i.e. when the number of correctible errors is greater than the weight. Namely, we show that NF(n, k, r) = O(n(r/2)+(4r/3k)). The best known (probabilistic) lower bound is NF(n, k, r) = Omega(n(r/2)+(r/(2k-2))), while the best known upper bound in the case k > r was for k a power of 2, in which case NF(n, k, r) = Omega(n(r/2)+(1/2)). Our method is based on a novel reduction of the problem to the extremal problem for cycles in graphs, and yields a fast algorithm for finding short linear dependences in large sets of sparse vectors. In the full version of this paper we present additional applications of this method to problems in combinatorial number theory
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,005 | 0,042 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,002 | 0,002 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,002 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,004 |
| Communication savante | 0,004 | 0,010 |
| Science ouverte | 0,004 | 0,005 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,006 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,012 | 0,004 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».