Almost prime values of the order of elliptic curves over finite fields
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Abstract. Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>E</m:mi> </m:math> $E$ be an elliptic curve over <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi/> </m:math> ${\mathbb {Q}}$ without complex multiplication. For each prime <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>p</m:mi> </m:math> $p$ of good reduction, let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mi>E</m:mi> <m:mo>(</m:mo> <m:msub> <m:mi/> <m:mi>p</m:mi> </m:msub> <m:mo>)</m:mo> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> </m:math> $|E({\mathbb {F}}_p)|$ be the order of the group of points of the reduced curve over <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msub> <m:mi/> <m:mi>p</m:mi> </m:msub> </m:math> ${\mathbb {F}}_p$ . According to a conjecture of Koblitz, there should be infinitely many such primes <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>p</m:mi> </m:math> $p$ such that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mi>E</m:mi> <m:mo>(</m:mo> <m:msub> <m:mi/> <m:mi>p</m:mi> </m:msub> <m:mo>)</m:mo> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> </m:math> $|E({\mathbb {F}}_p)|$ is prime, unless there are some local obstructions predicted by the conjecture. Suppose that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>E</m:mi> </m:math> $E$ is a curve without local obstructions (which is the case for most elliptic curves over <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi/> </m:math> ${\mathbb {Q}}$ ). We prove in this paper that, under the GRH, there are at least <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mn>2</m:mn> <m:mo>.</m:mo> <m:mn>778</m:mn> <m:msubsup> <m:mi>C</m:mi> <m:mi>E</m:mi> <m:mi>twin</m:mi> </m:msubsup> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>/</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mo form="prefix">log</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mn>2</m:mn> </m:msup> </m:mrow> </m:math> $2.778 C_E^{\rm twin} x / (\log x)^2$ primes <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>p</m:mi> </m:math> $p$ such that <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>|</m:mo> <m:mi>E</m:mi> <m:mo>(</m:mo> <m:msub> <m:mi/> <m:mi>p</m:mi> </m:msub> <m:mo>)</m:mo> <m:mo>|</m:mo> </m:mrow> </m:math> $|E({\mathbb {F}}_p)|$ has at most 8 prime factors, counted with multiplicity. This improves previous results of Steuding & Weng [20, 21] and Miri & Murty [15]. This is also the first result where the dependence on the conjectural constant <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msubsup> <m:mi>C</m:mi> <m:mi>E</m:mi> <m:mi>twin</m:mi> </m:msubsup> </m:math> $C_E^{\rm twin}$ appearing in Koblitz's conjecture (also called the twin prime conjecture for elliptic curves) is made explicit. This is achieved by sieving a slightly different sequence than the one of [20] and [15]. By sieving the same sequence and using Selberg's linear sieve, we can also improve the constant of Zywina [24] appearing in the upper bound for the number of primes <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle