A Self‐Dual Polar Factorization for Vector Fields
Notice bibliographique
Résumé
Abstract We show that any nondegenerate vector field u in \documentclass{article} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amsmath, amssymb} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{align*}L^{\infty}(\Omega, \mathbb{R}^N)\end{align*} \end{document} , where Ω is a bounded domain in \documentclass{article} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amsmath, amssymb} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{align*}\mathbb{R}^N\end{align*} \end{document} , can be written as \documentclass{article} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amsmath, amssymb} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{align*}u(x)= \nabla_1 H(S(x), x)\quad {\text for a.e.\ x \in \Omega}\end{align*} \end{document} }, where S is a measure‐preserving point transformation on Ω such that \documentclass{article} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amsmath, amssymb} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{align*}S^2=I\end{align*} \end{document} a.e. (an involution), and \documentclass{article} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amsmath, amssymb} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{align*}H: \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}\end{align*} \end{document} is a globally Lipschitz antisymmetric convex‐concave Hamiltonian. Moreover, u is a monotone map if and only if S can be taken to be the identity, which suggests that our result is a self‐dual version of Brenier's polar decomposition for the vector field as \documentclass{article} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amsmath, amssymb} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{align*}u(x)=\nabla \phi (S(x))\end{align*} \end{document} , where ϕ is convex and S is a measure‐preserving transformation. We also describe how our polar decomposition can be reformulated as a (self‐dual) mass transport problem. © 2012 Wiley Periodicals, Inc.
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».