ASYMPTOTIC FORMULAS FOR DISCRETE EIGENVALUE PROBLEMS IN LIOUVILLE NORMAL FORM
Notice bibliographique
Résumé
In the analysis of both continuous and discrete eigenvalue problems, asymptotic formulas play a central and crucial role. For example, they have been fundamental in the derivation of results about the inversion of the free oscillation problem of the Earth and related inverse eigenvalue problems, the computation of uniformly valid eigenvalues approximations, the proof of results about the behavior of the eigenvalues of Sturm–Liouville problems with discontinuous coefficients, and the construction of a counterexample to the Backus–Gilbert conjecture. Useful formulas are available for continuous eigenvalue problems with general boundary conditions as well as for discrete eigenvalue problems with Dirichlet boundary condition. The purpose of this paper is the construction of asymptotic formulas for discrete eigenvalue problems with general boundary conditions. The motivation is the computation of uniformly valid eigenvalue approximations. It is now widely accepted that the algebraic correction procedure, first proposed by Paine et al.,13 is one of the simplest methods for computing uniformly valid approximations to a sequence of eigenvalues of a continuous eigenvalue problem in Liouville normal form.8 This relates to the fact that, for Liouville normal forms with Dirichlet boundary conditions, it is not too difficult to prove that such procedures yield, under quite weak regularity conditions, uniformly valid O(h2) approximations. For Liouville normal forms with general boundary conditions, the corresponding error analysis is technically more challenging. Now it is necessary to have, for such Liouville normal forms, higher order accurate asymptotic formulas for the eigenvalues and eigenfunctions of their continuous and discrete counterparts. Assuming that such asymptotic formulas are available, it has been shown1 how uniformly valid O(h2) results could be established for the application of the algebraic correction procedure to Liouville normal forms with general boundary conditions. Algorithmically, this methodology represents an efficient procedure for determining uniformly valid approximations to sequences of eigenvalues, even though it is more complex than for Liouville normal forms with Dirichlet boundary conditions. As well as giving a brief review of the subject for general (Robin) boundary conditions, this paper sketches proofs for the asymptotic formulas, for Robin boundary conditions, which are required in order to construct the mentioned O(h2) results.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,015 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,003 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,002 |
| Communication savante | 0,001 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,003 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,002 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».