Invariant algebras and major indices for classical Weyl groups
Notice bibliographique
Résumé
Given a classical Weyl group W, that is, a Weyl group of type A, B or D, one can associate with it a polynomial with integral coefficients ZW given by the ratio of the Hilbert series of the invariant algebras of the natural action of W and Wt on the ring of polynomials C[x1,…,xn]⊗t. We introduce and study several statistics on the classical Weyl groups of type B and D and show that they can be used to give an explicit formula for ZDn. More precisely, we define two Mahonian statistics, that is, statistics having the same distribution as the length function, Dmaj and ned on Dn. The statistic Dmaj, defined in a combinatorial way, has an analogous algebraic meaning to the major index for the symmetric group and the flag-major index of Adin and Roichman for Bn; namely, it allows us to find an explicit formula for ZDn. Our proof is based on the theory of t-partite partitions introduced by Gordon and further studied by Garsia and Gessel. Using similar ideas, we define the Mahonian statistic ned also on Bn and we find a new and simpler proof of the Adin–Roichman formula for ZBn. Finally, we define a new descent number Ddes on Dn so that the pair (Ddes,Dmaj) gives a generalization to Dn of the Carlitz identity on the Eulerian–Mahonian distribution of descent number and major index on the symmetric group. 2000 Mathematics Subject Classification 05E15 (primary), 05A19 (secondary).
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,003 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,002 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».