On the binary expansions of algebraic numbers
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
Employing concepts from additive number theory, together with results on binary evaluations and partial series, we establish bounds on the density of 1’s in the binary expansions of real algebraic numbers. A central result is that if a real <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:math> has algebraic degree <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , then the number <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>#</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> of 1-bits in the expansion of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> through bit position <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:math> satisfies <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mo>#</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for a positive number <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:math> (depending on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:math> ) and sufficiently large <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:math> . This in itself establishes the transcendency of a class of reals <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> where the integer-valued function <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:math> grows sufficiently fast; say, faster than any fixed power of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:math> . By these methods we re-establish the transcendency of the Kempner–Mahler number <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , yet we can also handle numbers with a substantially denser occurrence of 1’s. Though the number <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> has too high a 1’s density for application of our central result, we are able to invoke some rather intricate number-theoretical analysis and extended computations to reveal aspects of the binary structure of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> .
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,000 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle