Efficient and accurate finite difference schemes for solving one-dimensional Burgers’ equation
Notice bibliographique
Résumé
In this paper, two efficient fourth-order compact finite difference algorithms have been developed to solve the one-dimensional Burgers’ equation: u t +u u x =ε u xx . The methods are based on the Hopf–Cole transformation, Richardson's extrapolation, and multilevel grids. In both methods, we first transform the original nonlinear Burgers’ equation into a linear heat equation: w t =ε w xx using the Hopf–Cole transformation, which is given as u=−2ε (w x /w). In the first method, the resulted heat equation is solved by the second-order accurate Crank–Nicholson algorithm while w x is approximated by central finite difference, which is also second-order accurate. Richardson's extrapolation technique is then applied in both time and space to obtain fourth-order accuracy. In the second method, to reduce the cancellation error in approximating w x , we derive the heat equation satisfied by w x , which is then solved by the Crank–Nicholson algorithm. The original Dirichlet boundary condition is transformed into the Robin boundary condition, which is also approximated using second-order central finite difference. Finally, Richardson's extrapolation and multilevel grid techniques are applied in both time and space to obtain fourth-order accuracy. To study the efficiency, accuracy and robustness, we solved two numerical examples and the results are compared with those of two other higher-order methods proposed in W. Liao [An implicit fourth-order compact finite difference scheme for one-dimensional Burgers’ equation, Appl. Math. Comput. 206(2) (2008), pp. 755–764] and I.A. Hassanien, A.A. Salama, and H.A. Hosham [Fourth-order finite difference method for solving Burgers’ equation, Appl. Math. Comput. 170 (2005), pp. 781–800].
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,002 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,001 |
| Communication savante | 0,000 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,001 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».