Notice bibliographique
Résumé
We give examples of knots distinguished by the total rank of their Khovanov homology but sharing the same two-fold branched cover.Hence Khovanov homology does not yield an invariant of two-fold branched covers.Mutation provides an easy method for producing distinct knots sharing a twofold branched cover: The mutation in the branch set corresponds to a trivial surgery in the cover.Due to a result of Wehrli [2007; 2009] (see also [Bloom 2009]), this provides a range of examples of manifolds that branch cover S 3 in more than one way, but for which the distinct branch sets have identical rank in their respective Khovanov homology groups over ކ 2 = .ޚ2/ޚFrom this point of view this fact is not completely surprising, as Khovanov homology is closely related to the Heegaard Floer homology of two-fold branched covers [Ozsváth and Szabó 2005].Indeed, this is made precise in Bloom's proof of mutation invariance [2009].More generally, there is a question posed by Ozsváth: Is Khovanov homology an invariant of the two-fold branched cover?More precisely, is the total rank of the reduced Khovanov homology (over ކ 2 ) an invariant of two-fold branched covers?This short note gives a negative answer.Theorem.The total rank of Khovanov homology is not an invariant of two-fold branched covers.This theorem is proved by exhibiting manifolds that are two-fold branched covers of S 3 in two different ways, and for which the pair of branch sets is distinguished by the total rank in Khovanov homology.We work with the reduced version of Khovanov homology, denoted Kh, with ކ 2 coefficients [Khovanov 2000;2003].Surgery on torus knots.Let S 3 r/s (K ) denote the result of (r/s)-surgery on a knot K ↩→ S 3 , and let T p,q denote the positive ( p, q) torus knot in S 3 (with 0 < p < q).Note that, as we will only consider torus knots, p and q are relatively prime.Proposition 1 [Moser 1971].The manifold S 3 ±1/n (T p,q ) is Seifert fibered with base orbifold S 2 ( p, q, pqn ∓ 1) for n > 0.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,002 | 0,004 |
| Communication savante | 0,002 | 0,003 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,002 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,008 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».