Conflict-Free Colourings of Graphs and Hypergraphs
Pourquoi ce travail est dans la base
Une base qui oublie comment elle a trouvé un travail ne peut pas être vérifiée. Voici les voies qui ont admis celui-ci.
Notice bibliographique
Résumé
A colouring of the vertices of a hypergraph H is called conflict-free if each hyperedge E of H contains a vertex of ‘unique’ colour that does not get repeated in E . The smallest number of colours required for such a colouring is called the conflict-free chromatic number of H , and is denoted by χ CF ( H ). This parameter was first introduced by Even, Lotker, Ron and Smorodinsky ( FOCS 2002) in a geometric setting, in connection with frequency assignment problems for cellular networks. Here we analyse this notion for general hypergraphs. It is shown that $\chi_{\rm CF}(H)\leq 1/2+\sqrt{2m+1/4}$ , for every hypergraph with m edges, and that this bound is tight. Better bounds of the order of m 1/ t log m are proved under the assumption that the size of every edge of H is at least 2 t − 1, for some t ≥ 3. Using Lovász's Local Lemma, the same result holds for hypergraphs in which the size of every edge is at least 2 t − 1 and every edge intersects at most m others. We give efficient polynomial-time algorithms to obtain such colourings. Our machinery can also be applied to the hypergraphs induced by the neighbourhoods of the vertices of a graph. It turns out that in this case we need far fewer colours. For example, it is shown that the vertices of any graph G with maximum degree Δ can be coloured with log 2+ε Δ colours, so that the neighbourhood of every vertex contains a point of ‘unique’ colour. We give an efficient deterministic algorithm to find such a colouring, based on a randomized algorithmic version of the Lovász Local Lemma, suggested by Beck, Molloy and Reed. To achieve this, we need to (1) correct a small error in the Molloy–Reed approach, (2) restate and re-prove their result in a deterministic form.
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Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,002 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découle