On the number of representations of a positive integer as a sum of two binary quadratic forms
Notice bibliographique
Résumé
Let ℕ denote the set of positive integers and ℤ the set of all integers. Let ℕ 0 = ℕ ∪{0}. Let a 1 x 2 + b 1 xy + c 1 y 2 and a 2 z 2 + b 2 zt + c 2 t 2 be two positive-definite, integral, binary quadratic forms. The number of representations of n ∈ ℕ 0 as a sum of these two binary quadratic forms is [Formula: see text] When (b 1 , b 2 ) ≠ (0, 0) we prove under certain conditions on a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 and c 2 that N(a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ; n) can be expressed as a finite linear combination of quantities of the type N(a, 0, b, c, 0, d; n) with a, b, c and d positive integers. Thus, when the quantities N(a, 0, b, c, 0, d; n) are known, we can determine N(a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ; n). This determination is carried out explicitly for a number of quaternary quadratic forms a 1 x 2 + b 1 xy + c 1 y 2 + a 2 z 2 + b 2 zt + c 2 t 2 . For example, in Theorem 1.2 we show for n ∈ ℕ that [Formula: see text] where N is the largest odd integer dividing n and [Formula: see text]
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,005 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,000 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,007 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».