Graph Colouring with No Large Monochromatic Components
Notice bibliographique
Résumé
For a graph G and an integer t we let mcc t ( G ) be the smallest m such that there exists a colouring of the vertices of G by t colours with no monochromatic connected subgraph having more than m vertices. Let be any non-trivial minor-closed family of graphs. We show that mcc 2 ( G ) = O ( n 2/3 ) for any n -vertex graph G ∈ . This bound is asymptotically optimal and it is attained for planar graphs. More generally, for every such , and every fixed t we show that mcc t ( G )= O ( n 2/( t +1) ). On the other hand, we have examples of graphs G with no K t +3 minor and with mcc t ( G )=Ω( n 2/(2 t −1) ). It is also interesting to consider graphs of bounded degrees. Haxell, Szabó and Tardos proved mcc 2 ( G ) ≤ 20000 for every graph G of maximum degree 5. We show that there are n -vertex 7-regular graphs G with mcc 2 ( G )=Ω( n ), and more sharply, for every ϵ > 0 there exists c ϵ > 0 and n -vertex graphs of maximum degree 7, average degree at most 6 + ϵ for all subgraphs, and with mcc 2 ( G ) ≥ c ϵ n . For 6-regular graphs it is known only that the maximum order of magnitude of mcc 2 is between $\sqrt n$ and n . We also offer a Ramsey-theoretic perspective of the quantity mcc t ( G ).
Récupéré en direct depuis OpenAlex et désinversé. Les résumés ne sont pas conservés dans cette base de données : les index inversés représentent 8,6 Go des 9,3 Go de texte de la base, et le serveur dispose de 13 Go libres.
Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,003 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,001 |
| Communication savante | 0,001 | 0,001 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,001 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,003 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».