On a problem of Sidon for polynomials over finite fields
Notice bibliographique
Résumé
Let $ω$ be a sequence of positive integers. Given a positive integer $n$, we define $$ r_n(ω) = | \{ (a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}\colon a,b \in ω, a+b = n, 0 0$ for all $n$ sufficiently large and, for all $ε> 0$, $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{r_n(ω)}{n^ε} = 0. $$ P. Erdős proved this conjecture by showing the existence of a sequence $ω$ of positive integers such that $$ \log n \ll r_n(ω) \ll \log n. $$ In this paper, we prove an analogue of this conjecture in $\mathbb{F}_q[T]$, where $\mathbb{F}_q$ is a finite field of $q$ elements. More precisely, let $ω$ be a sequence in $\mathbb{F}_q[T]$. Given a polynomial $h\in\mathbb{F}_q[T]$, we define $$ r_h(ω) = |\{(f,g) \in \mathbb{F}_q[T]\times \mathbb{F}_q[T] : f,g\in ω, f+g =h, \text{deg } f, \text{deg } g \leq \text{deg } h, f\ne g\}|. $$ We show that there exists a sequence $ω$ of polynomials in $\mathbb{F}_q [T]$ such that $$ \text{deg } h \ll r_h(ω) \ll \text{deg } h $$ for $\text{deg } h$ sufficiently large.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction distillée sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Apprise à partir de 10 348 étiquettes directes de Codex et de 10 348 étiquettes directes de Gemma. Le mode candidate est l'union des têtes enseignantes seuillées; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont ni des étiquettes humaines ni des étiquettes directes de modèles de pointe.
Scores Codex et Gemma par catégorie
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,000 | 0,000 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,000 | 0,000 |
| Bibliométrie | 0,000 | 0,000 |
| Études des sciences et des technologies | 0,000 | 0,000 |
| Communication savante | 0,000 | 0,000 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,001 |
| Intégrité de la recherche | 0,000 | 0,000 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,000 | 0,000 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule tête enseignante, pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».