The shortest disjunctive normal form of a random Boolean function
Notice bibliographique
Résumé
Abstract This paper gives a new upper bound for the average length ℓ ( n ) of the shortest disjunctive normal form for a random Boolean function of n arguments, as well as new proofs of two old results related to this quantity. We consider a random Boolean function of n arguments to be uniformly distributed over all 2 such functions. (This is equivalent to considering each entry in the truth‐table to be 0 or 1 independently and with equal probabilities.) We measure the length of a disjunctive normal form by the number of terms. (Measuring it by the number of literals would simply introduce a factor of n into all our asymptotic results.) We give a short proof using martingales of Nigmatullin's result that almost all Boolean functions have the length of their shortest disjunctive normal form asymptotic to the average length ℓ ( n ). We also give a short information‐theoretic proof of Kuznetsov's lower bound ℓ ( n ) ≥ (1 + o (1)) 2 n /log n log log n . (Here log denotes the logarithm to base 2.) Our main result is a new upper bound ℓ ( n ) ≤ (1 + o (1)) H ( n ) 2 n /log n log log n , where H ( n ) is a function that oscillates between 1.38826 … and 1.54169 … . The best previous upper bound, due to Korshunov, had a similar form, but with a function oscillating between 1.581411 … and 2.621132 … . The main ideas in our new bound are (1) the use of Rödl's “nibble” technique for solving packing and covering problems, (2) the use of correlation inequalities due to Harris and Janson to bound the effects of weakly dependent random variables, and (3) the solution of an optimization problem that determines the sizes of “nibbles” and larger “bites” to be taken at various stages of the construction. © 2003 Wiley Periodicals, Inc. Random Struct. Alg., 22: 161–186, 2003
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,031 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,002 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,004 |
| Communication savante | 0,003 | 0,008 |
| Science ouverte | 0,001 | 0,002 |
| Intégrité de la recherche | 0,001 | 0,003 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,006 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».