On sharp transitions in making squares
Notice bibliographique
Résumé
In the fastest-performing integer factoring algorithms, one creates a sequence of integers (in a pseudo-random way) and wishes to rapidly determine a subsequence whose product is a square.In 1994 Pomerance stated the following problem which encapsulates all of the key issues: Select integers a1, a2, . . ., at random from the interval [1, x], until some (nonempty ) subsequence has product equal to a square.Find a good estimate for the expected stopping time of this process.A good solution should allow one to determine the optimal choice of parameters in many factoring algorithms.Pomerance (1994), using an idea of Schroeppel (1985), showed that with probability 1 -o(1) the first subsequence whose product equals a square occurs after at least J 1-o(1) 0 integers have been selected, but no more than J0, for an appropriate (explicitly determined) J0 = J0(x).We tighten Pomerance's interval to [(π/4)(e -γ -o(1))J0, (e -γ + o(1))J0], where γ = 0.577... is the Euler-Mascheroni constant, and believe that the correct interval is [(e -γ -o(1))J0, (e -γ + o(1))J0], a "sharp threshold".In our proof we confirm the well-established belief that, typically, none of the integers in the square product have large prime factors.The heart of the proof of our upper bound lies in delicate calculations in probabilistic graph theory, supported by comparative estimates on smooth numbers using precise information on saddle points.
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Comment cette classification a été obtenuedéplier
Prédiction machine sur la base complète
Imitation des enseignantsNi prévalence calibrée, ni vérité terrain. Validation humaine à venir. Le volet Gemma est une étiquette directe du modèle pour chaque travail de la base, lue sur la notice réduite au titre. Le volet Codex est un classifieur appris des 10 348 étiquettes directes de Codex et calibré sur les taux pondérés de l'échantillon; les champs sans appui suffisant ne portent aucun appel Codex. Le mode candidate est l'union des deux volets; le consensus est leur intersection. Ces sorties portent le statut machine_predicted_unvalidated et ne sont pas des étiquettes humaines.
Scores du classifieur distillé par catégorie (deux têtes)
| Catégorie | Codex | Gemma |
|---|---|---|
| Métarecherche | 0,003 | 0,022 |
| Méta-épidémiologie (sens strict) | 0,001 | 0,001 |
| Méta-épidémiologie (sens large) | 0,001 | 0,001 |
| Bibliométrie | 0,001 | 0,001 |
| Études des sciences et des technologies | 0,001 | 0,005 |
| Communication savante | 0,003 | 0,004 |
| Science ouverte | 0,002 | 0,003 |
| Intégrité de la recherche | 0,002 | 0,004 |
| Charge utile insuffisante (le modèle a refusé de juger) | 0,012 | 0,001 |
Scores machine (provisoires)
Les deux têtes enseignantes du modèle étudiant, lues sur ce travail. Un score ordonne la base pour la relecture; il n'affirme jamais une catégorie, et le statut de validation accompagne chaque rangée tel quel.
Scores de référence d'un modèle non mature (critères de maturité non atteints, 7 itérations). Un score ordonne; il n'affirme jamais une catégorie.
score_only:v0-immature-baseline · tel quel depuis la passe de notation : score_only signifie que le nombre peut ordonner les travaux, et qu'aucune étiquette de catégorie n'en découleClassification
machine, non validéePrédiction automatique; un appel candidat d’une seule source (Gemma direct ou Codex distillé), pas un consensus.
Le détail, modèle par modèle et score par score, se trouve en fin de page sous « Comment cette classification a été obtenue ».